Mata kuliah: Fisika IIBab: Hukum GaussSasaran: mahasiswa tingkat awal

Hukum GaussJalan pintas simetri untuk menghitung medan listrik

Bab sebelumnya menghitung medan listrik dengan menjumlahkan kontribusi tiap muatan atau tiap elemen muatan kecil. Untuk benda yang bentuknya sangat simetris, ada cara yang jauh lebih singkat: hukum Gauss. Bab ini menunjukkan kapan jalan pintas itu berlaku dan bagaimana memakainya.

Tujuan pembelajaran

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa mampu:

  • menjelaskan konsep fluks listrik dan menghitungnya untuk permukaan sederhana;
  • menyatakan hukum Gauss dan menjelaskan makna muatan yang terlingkup;
  • menentukan medan listrik bola bermuatan merata, di dalam maupun di luar bola;
  • menentukan medan listrik di sekitar kawat lurus panjang bermuatan;
  • menentukan medan listrik akibat pelat luas bermuatan dan kapasitor pelat sejajar;
  • menjelaskan sifat medan listrik di dalam dan permukaan konduktor dalam kesetimbangan elektrostatik.
Subbab1

Pengantar: Tujuan, Referensi, dan Disklaimer

Animasi utamaPeta konsep Hukum Gauss
Interaksi pesertaMenjelajahi peta materi dan melakukan asesmen awal

Deskripsi

Menghitung medan listrik langsung dari hukum Coulomb bisa sangat panjang untuk benda bermuatan yang besar. Hukum Gauss memakai simetri benda, bola, silinder, atau bidang, untuk memilih permukaan bantu yang membuat perhitungan itu menjadi aljabar sederhana. Bab ini melanjutkan langsung dari bab Medan dan Gaya Listrik.

Peta konsep

Tekan salah satu kotak pada peta untuk melihat contoh dan subbab yang membahasnya.

Asesmen awal

Nilai kesiapan Anda pada tiap topik. Hasilnya hanya untuk membantu memilih urutan belajar dan tidak disimpan.

Pilih tingkat pemahaman pada setiap baris untuk melihat saran urutan belajar.

Referensi utama

  • David Halliday, Robert Resnick, dan Jearl Walker, Fundamentals of Physics.
  • Raymond A. Serway dan John W. Jewett, Physics for Scientists and Engineers.
  • Paul A. Tipler dan Gene Mosca, Physics for Scientists and Engineers.
  • David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, untuk pendalaman.

Edisi dan cakupan yang dipakai perlu dicantumkan oleh dosen sesuai kurikulum serta ketentuan yang berlaku.

Disklaimer akademik

Modul ini merupakan media pendamping pembelajaran dan tidak menggantikan buku teks, penjelasan dosen, maupun latihan soal yang lengkap. Animasi memakai satuan dan skala yang disederhanakan, konsisten dengan bab Medan dan Gaya Listrik, agar perilaku medan terlihat jelas dan tidak selalu menggambarkan skala sesungguhnya. Persamaan hanya berlaku pada asumsi dan batas penggunaan yang dijelaskan di tiap bagian, terutama syarat simetri yang membuat hukum Gauss mudah dipakai.

Pernyataan bantuan kecerdasan buatan

Modul dikembangkan oleh penulis dengan bantuan teknologi kecerdasan buatan dalam proses penyusunan, visualisasi, animasi, dan pengembangan interaktivitas. Penulis telah menelaah dan bertanggung jawab atas ketepatan isi, sumber rujukan, kesesuaian pembelajaran, serta produk akhirnya.

Subbab2

Fluks Listrik

Animasi utamaGaris medan menembus permukaan pada berbagai sudut
Interaksi pesertaMengubah luas, kemiringan permukaan, dan besar medan

Fluks listrik menyatakan banyaknya garis medan yang menembus suatu permukaan. Untuk medan seragam E dan permukaan datar berluas A, fluks didefinisikan lewat vektor luas A, yang besarnya sama dengan luas permukaan dan arahnya tegak lurus permukaan itu:

Φ = E · A = EA cos θ

dengan θ sudut antara medan E dan vektor normal permukaan. Fluks maksimum ketika permukaan tegak lurus medan (θ = 0), dan nol ketika permukaan sejajar medan (θ = 90°), karena pada keadaan itu tidak ada garis medan yang menembus permukaan.

Permukaan tertutupUntuk permukaan melengkung atau tertutup, permukaan dibagi menjadi elemen-elemen kecil dA dan fluks totalnya adalah jumlah (integral) Φ = ∮ E · dA. Inilah bentuk umum yang dipakai hukum Gauss.

Subbab3

Hukum Gauss

Animasi utamaPermukaan Gauss di sekitar beberapa muatan
Interaksi pesertaMenggeser jari-jari permukaan, menambah muatan di dalam atau di luar

Hukum Gauss menyatakan bahwa fluks listrik total yang menembus sembarang permukaan tertutup sama dengan muatan yang terlingkup di dalamnya, dibagi permitivitas ruang hampa ε0:

Φtotal = ∮ E · dA = Qencε0

dengan ε0 = 8,85 × 10−12 C²/(N·m²). Permukaan tertutup yang dipilih untuk perhitungan disebut permukaan Gauss; bentuknya bebas dipilih, biasanya sesuai simetri muatan agar perhitungan mudah. Yang menentukan fluks total hanyalah muatan yang berada di dalam permukaan; muatan di luar permukaan tidak menyumbang fluks total sama sekali, meski medannya tetap ada di permukaan tersebut.

Kapan berguna untuk mencari EHukum Gauss baru menjadi jalan pintas untuk menghitung E itu sendiri (bukan hanya fluks) ketika benda bermuatan cukup simetris sehingga E bisa dikeluarkan dari integral: besarnya sama di seluruh permukaan Gauss dan sejajar (atau tegak lurus) dengan permukaan itu di setiap titik.
Di dalamDi luar
Subbab4

Medan Listrik Bola Bermuatan

Animasi utamaMedan di dalam dan luar bola isolator bermuatan merata
Interaksi pesertaMengubah muatan total, jari-jari bola, dan posisi titik tinjau

Untuk bola isolator berjari-jari R dengan muatan total Q tersebar merata di seluruh volumenya, permukaan Gauss yang dipilih adalah bola sepusat berjari-jari r. Karena simetri bola, E sama besar di seluruh permukaan itu dan selalu radial, sehingga Φ = E(4πr²).

r ≥ R (di luar):   E = k Qr2
r ≤ R (di dalam):   E = k QrR3

Di luar bola, medannya sama seperti seolah seluruh muatan terkumpul di pusat (sama seperti muatan titik). Di dalam bola, hanya muatan yang terlingkup oleh permukaan Gauss radius r yang berpengaruh, dan karena muatan itu sebanding dengan volume (r³), medan naik secara linear dari nol di pusat sampai maksimum tepat di permukaan bola.

AsumsiMuatan tersebar merata di seluruh volume bola (bukan hanya di permukaan), dan bola berada sendirian tanpa muatan lain di dekatnya.
Subbab5

Medan Listrik Kawat Tak Hingga

Animasi utamaMedan di sekitar kawat lurus panjang bermuatan
Interaksi pesertaMengubah rapat muatan per panjang dan jarak dari kawat

Untuk kawat lurus yang sangat panjang dengan rapat muatan per satuan panjang λ (satuan C/m), permukaan Gauss yang dipilih adalah silinder sepusat dengan kawat, berjari-jari r dan panjang L. Medan tegak lurus kawat dan sama besar di seluruh sisi lengkung silinder, sehingga Φ = E(2πrL), sedangkan kedua tutup silinder tidak disumbangi fluks karena medan sejajar dengannya.

E = 2kλr

Berbeda dari muatan titik atau bola yang medannya melemah dengan r², medan di sekitar kawat panjang hanya melemah dengan r: dua kali lebih jauh berarti medan menjadi setengahnya, bukan seperempatnya.

AsumsiKawat dianggap tak berhingga panjangnya (atau titik tinjau jauh lebih dekat ke kawat daripada ke ujung kawat), sehingga efek ujung bisa diabaikan.
Subbab6

Medan Listrik Pelat dan Kapasitor Pelat Sejajar

Animasi utamaMedan dari satu pelat luas dan dari dua pelat sejajar
Interaksi pesertaMengubah rapat muatan permukaan, membandingkan satu vs dua pelat

Untuk pelat sangat luas dengan rapat muatan permukaan σ (satuan C/m²), permukaan Gauss yang dipilih adalah kotak pendek (kaleng pil) yang menembus pelat dengan dua tutup sejajar pelat. Hasilnya, medan di kedua sisi pelat tidak bergantung pada jarak dari pelat:

E = σ2ε0

Bila dua pelat sejajar diberi muatan berlawanan tanda dan rapat muatan sama besar ±σ (seperti pada kapasitor pelat sejajar), medan dari kedua pelat saling menguatkan di ruang antara keduanya dan saling meniadakan di luar keduanya:

Eantara pelat = σε0    Edi luar = 0
AsumsiPelat dianggap sangat luas (tak berhingga) dibanding jarak ke titik tinjau, sehingga efek tepi pelat bisa diabaikan.
Subbab7

Konduktor dalam Kesetimbangan Elektrostatik

Animasi utamaMedan di dalam dan permukaan konduktor berongga
Interaksi pesertaMenambah muatan di rongga, mengamati muatan induksi

Pada konduktor yang sudah mencapai kesetimbangan elektrostatik (muatan tidak lagi bergerak), medan listrik di dalam bahan konduktor selalu nol. Bila tidak nol, muatan bebas di dalamnya akan terus bergerak sampai medan itu hilang. Konsekuensinya, dengan memilih permukaan Gauss di dalam bahan konduktor, muatan neto yang terlingkup juga harus nol, sehingga:

  • seluruh muatan neto pada konduktor terkumpul di permukaan luarnya;
  • bila ada rongga di dalam konduktor tanpa muatan, tidak ada muatan neto pada dinding rongga itu;
  • bila ada muatan q diletakkan di dalam rongga, permukaan dinding rongga akan terinduksi muatan −q, dan permukaan luar konduktor terinduksi muatan +q (ditambah muatan asli konduktor, bila ada);
  • medan tepat di luar permukaan konduktor tegak lurus permukaan dengan besar E = σ/ε0, dengan σ rapat muatan permukaan setempat.
Mengapa ini pentingPrinsip inilah dasar sangkar Faraday: ruang tertutup oleh konduktor terlindung dari medan listrik luar, karena muatan pada permukaan luar konduktor menyusun ulang dirinya sedemikian rupa sehingga medan di dalam bahan maupun di dalam rongga tanpa muatan tetap nol.
Subbab8

Kesimpulan

Animasi utamaTabel ringkasan empat simetri
Interaksi pesertaMembandingkan keempat kasus; kuis akhir

Ringkasan konsep

  • Fluks listrik mengukur banyaknya garis medan yang menembus suatu permukaan.
  • Hukum Gauss menghubungkan fluks total pada permukaan tertutup dengan muatan yang terlingkup di dalamnya.
  • Hukum Gauss selalu benar, tetapi hanya menjadi jalan pintas praktis untuk mencari E ketika bentuk muatan cukup simetris: bola, silinder, atau bidang.
  • Tiap simetri punya bentuk ketergantungan jarak yang berbeda: 1/r² untuk bola (di luar), 1/r untuk silinder, dan tidak bergantung jarak untuk bidang luas.
  • Di dalam konduktor dalam kesetimbangan elektrostatik, medan listrik selalu nol dan muatan neto berada di permukaan.

Perbandingan empat simetri

Pilih tiap kasus untuk melihat bentuk ketergantungan medannya terhadap jarak.

Evaluasi akhir

Untuk soal numerik, isikan angka dengan koma atau titik desimal; toleransi jawaban 3%.

Refleksi

Hukum Gauss berlaku untuk semua bentuk muatan, tetapi hanya benda-benda simetris yang dipakai sebagai contoh dalam bab ini. Mengapa demikian?

Jawaban disimpan di peramban ini bila penyimpanan tersedia.

Hukum Gauss tidak menggantikan hukum Coulomb, keduanya menggambarkan hubungan yang sama antara muatan dan medan. Yang berbeda hanyalah cara pandang: hukum Coulomb menjumlahkan kontribusi tiap muatan, sedangkan hukum Gauss memanfaatkan simetri agar penjumlahan itu tidak perlu dilakukan sama sekali.